يحدد نموذج كولوم المعطى نصف القطر وطاقة الترابط معاً. ويساوي الجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية لحالته القاعية gc، بينما يكون تيار احتمال الحالة 1s الحقيقية صفراً.
ما الذي ستتعلمه
- إيجاد القيمة الدنيا لطاقة كولوم ضمن عائلة الحالات الأسية.
- ربط نصف القطر وطاقة الترابط وكمية الحركة النسبية باستخدام هاملتوني واحد.
- التمييز بين الجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية وسرعة الإلكترون في إطار مركز الكتلة وتيار الاحتمال.
قبل أن تبدأ: الدروس 01–09. يصرح هذا الدرس بهاملتونيه الكمومي، ويستخدم التفاضل الأولي والقيم المتوقعة في حالات مطبّعة.
تحديد ما يربط الزوج
لا يكفي التعادل الكهربائي وحده لإثبات وجود ذرة؛ فقد تكون شحنتان متعاكستان متباعدتين جداً. يتطلب الترابط حالة موضعية تقل طاقتها عن طاقة المكونات المنفصلة. نفترض هاملتوني إحداثي نسبي ثلاثي الأبعاد H=−D∇²−C/r، مع D وC موجبين وعتبة انفصال تساوي صفراً. الحد الأول كلفة حركية؛ والثاني تجاذبي.
بالنسبة إلى إلكترون كتلته me ونواة كتلتها M، تكون الكتلة المختزلة μ=meM/(me+M). تعيّن المطابقة المألوفة D=ℏ²/(2μ) وC=gℏc. يصبح g اللابعدي هو الاقتران الكهرومغناطيسي بعد مطابقته مع ذلك التفاعل الفيزيائي. الهندسة والديناميات المتماسكة والجهد المتناسب عكسياً مع المسافة ومعاملاتها مدخلات لحساب هذا الدرس.
مثال محلول: إيجاد الحجم المفضل
نأخذ الدالة الأسية المطبّعة ψ(r)=exp(−r/a)/√(πa³)، حيث يتحكم a>0 في حجمها المكاني. قيمتها المتوقعة الدقيقة للهاملتوني المعطى هي E(a)=D/a²−C/a. يعطي التفاضل E′(a)=−2D/a³+C/a²، وتنعدم هذه المشتقة عند a*=2D/C.
عند D=1/2 وC=1 بوحدات النموذج، يساوي معلم نصف القطر واحداً وتساوي الطاقة −1/2، أي دون عتبة الانفصال. وهذه قيمة دنيا ضمن عائلة الحالات التجريبية. يقدم اشتقاق كولوم الكامل حداً أدنى بإكمال المربع لجميع الحالات المسموح بها، ويبين أن الدالة الأسية عند القيمة المثلى هي الحالة القاعية الدقيقة لهذا المؤثر.
مقارنة منحنى الترابط كاملاً
نضع x=a/a* ونقسم الطاقة على |E*|. يرسم العرض التفاعلي لطاقة الهيدروجين الدالة الناتجة 1/x²−2/x. إن قيمتها مضافاً إليها واحد تساوي (1/x−1)²، مما يثبت أن القيمة الدنيا هي −1 عند x=1.
عند x=1/2 تساوي مساهمتا الطاقة الحركية والجهدية أربعة وسالب أربعة، فتكون النتيجة صفراً. وعند x=2 تكونان 1/4 وسالب واحد، فتعطيان −3/4. يصف المنحنى التوازن بين كلفة الحصر والتجاذب. إن مضاعفة C مع تثبيت D تخفض a* إلى النصف وتضاعف |E*| أربع مرات، لكنها تترك هذا المنحنى اللابعدي دون تغيير. لذلك لا يستطيع وجود منحنى الترابط أو شكله وحده انتقاء قيمة عددية للاقتران.
منحنى الاحتمال ليس مداراً
الاحتمال الشعاعي المطبّع هو P(r)=4r²exp(−2r/a*)/a*³. وهو يتضمن حجم قشرة كروية. تقع قمته عند r=a*، بينما تكون كثافة الاحتمال لكل وحدة حجم أكبر ما يمكن عند الأصل. ومتوسط نصف قطره هو 3a*/2، ولذلك تصف حتى القمة والمتوسط إحصاءين مختلفين.
دالة الموجة 1s الساكنة والحقيقية لها تيار احتمال صفري. ولا يستلزم ذلك تبايناً صفرياً لكمية الحركة. يمكن أن يكون متوسط كمية الحركة لحالة ساكنة ممتدة صفراً، مع متوسط غير صفري لمربع كمية الحركة. ولذلك يصف الرسم الشعاعي إحصاءات قياسات الموضع المتكررة، ولا يصف إلكتروناً يتتبع مساراً دائرياً. فسّر كل تنبؤ منسوب إلى المصدر باستخدام الكمية القابلة للرصد المحددة نفسها.
افتح الرسم بالحجم الكامل ←
اشتقاق إحصاء السرعة بدقة
بالنسبة إلى حالة كولوم مقيدة، تكون علاقة الفيريال 2⟨T⟩=−⟨V⟩، ولذلك E=−⟨T⟩. يعطي الطيف En=−μc²g²/(2n²) بعد ذلك ⟨p²⟩=μ²c²g²/n². الجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية هو √⟨p²⟩/μ=cg/n. وفي الحالة القاعية وبعد المطابقة الكهرومغناطيسية، تكون vrel,rms/c=α.
في إطار مركز الكتلة، يحمل الإلكترون كمية الحركة النسبية نفسها p، لكن سرعته هي p/me. لذلك تكون نسبة الجذر التربيعي لمتوسط مربع سرعته إلى c هي (μ/me)g/n. وبالنسبة إلى زوج متساوي الكتلتين، يكون لكل مكون نصف الجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية. وحدها النواة ذات الكتلة اللانهائية تجعل نسبتي سرعة الإلكترون والسرعة النسبية متطابقتين تماماً.
استخدام عدة اختبارات ذرية مترابطة
تعطي القيمة المدخلة نفسها g العلاقات a*=ℏ/(μcg)، ومقدار طاقة الترابط القاعية μc²g²/2، والجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية cg. عند تثبيت الاقتران، يغير تغيير كتلة النواة الكتلة المختزلة μ؛ ولذلك يتناسب نصف القطر عكسياً مع μ، والطاقة طردياً معها، ويبقى الجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية دون تغيير. وتظل سرعة الإلكترون في إطار مركز الكتلة تتغير عبر العامل μ/me.
ينبغي لقانون مادة مشتق من المصدر أن يستعيد هذه العلاقات باستخدام قاموس واحد مشترك للساعة والفعل. وينبغي أن يحدد التصحيحات الإضافية قبل المقارنة بالأطياف الدقيقة؛ إذ يهمل النموذج الحالي الآثار النسبية وآثار اللف المغزلي والإشعاع والنواة. يسأل الدرس 11 عما يمكنه تعيين g في مرحلة سابقة من البناء. إنتاج عدد صحيح بنيوي أحد المكونات المرشحة، بينما تظل الاستجابة الفيزيائية المطبّعة حساباً مستقلاً.
تمارين وإجابات مفصلة
حاول حل كل سؤال، ثم افتح الإجابة لمقارنة الخطوات.
التمرين 1
عند D=2 وC=4، أوجد a* وE* وE(a) عند a=2. بكم تزيد تلك الطاقة على القيمة الدنيا؟
اعرض الإجابة المفصلة
المقياس الذي يصغّر الطاقة هو a*=2D/C=4/4=1، والقيمة الدنيا هي E*=−C²/(4D)=−16/8=−2. عند a=2 تكون E=2/4−4/2=1/2−2=−3/2. تزيد هذه الطاقة على القيمة الدنيا بمقدار (−3/2)−(−2)=1/2. وقيمتها اللابعدية هي (−3/2)/2=−3/4، بما يتفق مع x=2 في العرض التفاعلي.
التمرين 2
لنواة توضيحية كتلتها M=9mₑ ولاقتران g=1/100، احسب نسبتي الجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية وسرعة الإلكترون في إطار مركز الكتلة إلى c في الحالة القاعية. ما متجه السرعة المتوسطة للحالة 1s الحقيقية؟
اعرض الإجابة المفصلة
عامل الكتلة المختزلة هو μ/mₑ=M/(mₑ+M)=9/10. لذلك v_rel,rms/c=1/100=0.01 وv_e,rms/c=(9/10)(1/100)=0.009. يكون كل من متجه السرعة المتوسطة وتيار الاحتمال صفراً للحالة 1s الساكنة والحقيقية. تشير القيمة غير الصفرية للجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة إلى تباين كمية الحركة الموجب، ولا تشير إلى متجه متوسط غير صفري أو مدار محدد تحديداً حاداً.
مقالات مرتبطة بالإنجليزية
- A normalizable hydrogen-like ground state
Square completion gives the exact normalized ground state of the supplied nonrelativistic Coulomb Hamiltonian. Its spectrum and relative root-mean-square speed provide precise atomic benchmarks without selecting the coupling itself.
- Why binding does not fix the coupling
Dilation shows that every positive Coulomb coupling admits binding and the same type of ground-state filter. A source derivation of a particular coupling must therefore fix field, matter, action and clock normalization beyond the existence of an atom.
- Hydrogen and deuterium as complementary probes
Hydrogen and deuterium separate universal electronic rules from isotope-specific mass and nuclear effects. Reduced-mass and contact-scaling examples show why a common operator can still produce different numerical shifts in the two atoms.