اشتقاق مفصّل: ٦٤ عنواناً ثنائياً و٢٧ موضعاً مكانياً

المدخلات واصطلاح أخذ العينات

خذ ست بتات d₁،…،d₆، قيمة كل منها صفر أو واحد. عنوانها هو n=Σ2^a−1d_a، ويتراوح من صفر إلى 63. جمّعها في ثلاثة أزواج وعرّف y_b=d_2b−1−d_2b. القراءة المكانية هي Q=ℓΣy_be_b، باستخدام إطار مستقل وℓ موجب.

افترض أن مسحاً كاملاً واحداً للعداد يزور كل عنوان مرة واحدة، واختر عنواناً باحتمال متساوٍ من ذلك المسح. يعطي هذا قياساً احتمالياً محدداً: احتمال كل سلسلة من ست بتات هو 1/64. تشير الاحتمالات التالية إلى قاعدة أخذ العينات هذه. قد ينتج تحضير متماسك للسعات أو ناتج اكتمال منتقى قياساً آخر، ويتطلب أداة خاصة به.

البتات الست حالة عداد متداخلة، وليست ست ساعات مختبرية مستقلة. يتبع اقترانها البنية المثبتة في اشتقاق الرتبة.

الخطوة ١: تعداد حالات زوج واحد بدقة

أزواج المدخلات الأربعة هي (0,0) و(1,0) و(0,1) و(1,1). فروقها، بالترتيب، صفر وموجب واحد وسالب واحد وصفر. لذلك تكون تعدديات قيم الإحداثي −1,0,+1 هي 1,2,1.

مجموع الاحتمالات واحد لأن مجموع التعدديات أربعة. لا تمثل القيمة الصفرية غياب حالات المصدر؛ بل تجمع حالتين مختلفتين. في إحداهما تكون القناتان غير نشطتين، وفي الأخرى تكونان نشطتين لكن خرجيهما يتلاشيان. يعدهما كاشف لا يقرأ إلا الفرق متكافئتين في هذه اللحظة.

الخطوة ٢: تكوين القياس الجدائي الكامل

عند أخذ عينات متساوية الاحتمال من السلاسل الستية تكون الأزواج الثلاثة مستقلة. تظهر كل ثلاثية إحداثيات y∈{−1,0,1}³، مما يعطي 3³=27 موضعاً. تعددية عناوين كل موضع هي حاصل ضرب تعدديات الأزواج المنفردة.

ينتج التطبيع دون سرد العناوين الأربعة والستين: Σ_yM(y)=[1+2+1]³=64. للموضع المركزي تعددية M(0,0,0)=8 واحتمال 1/8. لا تحتوي الزاوية إحداثياً صفرياً، فتكون تعدديتها واحداً واحتمالها 1/64. لم ينتج انتظام المسافات بين المواضع قياساً متساوياً عليها.

توفر كثيرة حدود مولّدة فحصاً دقيقاً آخر. لزوج واحد، (1+t)(1+t⁻¹)=t⁻¹+2+t؛ ومعاملاتها هي التعدديات. لثلاثة أزواج، استخدم متغيراً لكل إحداثي واضرب كثيرات الحدود الثلاث. معامل t₁^y₁t₂^y₂t₃^y₃ هو M(y). وبجعل جميع المتغيرات مساوية لواحد نستعيد العدد 64.

تعطي القسمة على أربعة ووضع t=exp(ik) الدالة المميزة للإحداثي الواحد cos²(k/2). والدالة المميزة للإحداثيات الثلاثة هي حاصل ضرب هذه العوامل. تتحقق قيمة الدالة عند الصفر من تطبيع الاحتمال، ويعطي مشتقها الثاني التباين المحسوب أدناه. هذا تحويل فورييه لتوزيع احتمال كلاسيكي؛ وليس ادعاءً بأن العداد حضّر سعة كمية ذات قانون الطور هذا.

الخطوة ٣: تجميع المواضع بحسب الإحداثيات غير الصفرية

ليكن j عدد الإحداثيات غير الصفرية. نختار هذه الإحداثيات بعدد binom(3,j) من الطرق، ونختار إشاراتها بعدد 2^j من الطرق. لكل موضع ناتج 3−j إحداثيات صفرية، ومن ثم تعددية 2^3−j. العدد الكلي للعناوين في هذه المجموعة هو 8 binom(3,j).

مجموع أعداد المواضع 27، ومجموع أعداد العناوين المرجّحة 64. عند استخدام إطار متعامد معياري، يكون مربع المسافة jℓ². ولذلك يعطي هذا التجميع أيضاً التوزيع الشعاعي الكامل للمترية المختارة.

الخطوة ٤: حساب العزوم والتعميم إلى الأساس q

يعطي التناظر E[Y]=0. والعزم الثاني هو E[Y²]=1/4+1/4=1/2. يجعل الاستقلال العزوم المختلطة صفراً، فتكون مصفوفة التغاير للإحداثيات المتعامدة المعيارية الثلاثة (ℓ²/2)I. ومتوسط مربع نصف قطرها 3ℓ²/2. إذا لم يكن الإطار المعطى متعامداً معيارياً، وجب إدخال مصفوفة غرام الخاصة به في حساب الطول الفيزيائي عوضاً عن ذلك.

لأساس عام q، يكون للفرق k بين خانتين متساويتي التوزيع q−|k| من الممثلات، عندما |k|≤q−1. ينتج ذلك من عدّ القيم المسموحة للخانة الأصغر بعد تثبيت الفرق. مجموع التعدديات المثلثية q². وبما أن تباين خانة واحدة متساوية التوزيع هو (q²−1)/12، يكون تباين الفرق (q²−1)/6.

تشير image في الصيغة إلى صورة القراءة. وهكذا تنتمي النتيجة الثنائية إلى عائلة دقيقة، وليست مصادفة عددية خاصة.

الخطوة ٥: تمييز إعادة الترجيح من قياس المصدر

يسند التوزيع المتساوي على المواضع احتمال 1/27 إلى كل موضع. للحصول عليه من عناوين مرجّحة، أسند إلى كل عنوان عند الموضع y احتمال 1/[27M(y)]. عندئذ يعطي الجمع على ممثلاته M(y) القيمة 1/27 بالضبط، ويعطي الجمع على جميع المواضع واحداً.

هذا تحضير مختلف للعناوين. ويمكن بدلاً منه استخدام أوزان مقلوب التعددية لتقدير متوسطات المواضع المتساوية من العينة الأصلية، لكن هذا التصحيح الإحصائي لا يغير عملية أخذ العينات الفيزيائية الأساسية. يجب أن يحدد نموذج الاكتمال العملية التي ينفذها بالفعل. حذف الوسوم المتكررة من أرشيف يغير تمثيل مجموعة؛ ولا يحدد بذاته كيف تأخذ مشاهدة عشوائية لاحقة عينة من تلك المجموعة.

يرتبط هذا التمييز بنموذج الموناد المفرد وازدواجية الزمن، لأن المسارات التاريخية المحفوظة قد تحمل تعدديات مختلفة حتى عندما تتطابق تشكيلاتها المرئية.

الخطوة ٦: قياس فقد المعلومات واختبار التنبؤ

للعنوان ذي البتات الست المختار باحتمال متساوٍ إنتروبيا شانون مقدارها ست بتات. ولفرق إحداثي واحد إنتروبيا −2(1/4)log₂(1/4)−(1/2)log₂(1/2)=3/2 بت. لذلك تحمل ثلاثة إحداثيات مستقلة 9/2 بت. وبما أن الخرج دالة حتمية في العنوان، فإن الإنتروبيا الشرطية للعنوان عند معرفة الموضع تساوي 6−9/2=3/2 بت.

يختلف متوسط فقد المعلومات هذا عن عدد الاتجاهات المحفوظة أو عن log₂27. فالتوزيع على المواضع غير متساوٍ. وله أيضاً أثر ديناميكي: يُرسَل العنوانان صفر وثلاثة إلى نقطة الأصل، بينما يُرسَل خلفاهما واحد وأربعة إلى ℓe₁ وℓe₂. لا يستطيع تحديث حتمي يستند إلى الموضع الحالي وحده أن يعيد إنتاج المستقبلين كليهما.

نحصل على مقدار الإنتروبيا المفقودة نفسه بحساب الشرط مباشرة. لموضع ذي j إحداثيات غير صفرية عدد 2^3−j من العناوين متساوية الاحتمال، فتكون إنتروبيا العنوان المتبقية عنده 3−j بت. تعطي احتمالات المجموعات أعلاه E[j]=3/2، ولذلك يكون متوسط الإنتروبيا الشرطية مرة أخرى 3/2 بت.

النتيجة ومعنى الاكتمال

الخرج الدقيق صورة من ٢٧ موضعاً، وقياس مطبّع غير متساوٍ، وعزوم صريحة، ومقدار محدد لفقد معلومات العنوان. لا تطابق أي من هذه العبارات المسح الداخلي للعداد بالحركة الفيزيائية. يمكن للحمل أن يولد قفزات في الإسقاط، بينما يحتاج نقل المادة إلى توافق خاص به مع علاقات التجاور المحفوظة.

في ازدواجية الزمن، ينبغي للاكتمال الخارجي أن يحدد ما إذا كان الأرشيف يخزن المواضع، أو أعداد الزيارات، أو السعات، أو ذاكرة المصدر، أو تركيباً كافياً منها. قد يبسّط إعادة ضبط العداد عند حد مكتمل التنبؤ، لكن يجب حفظ كل متغير متبقٍ يؤثر في الدورة التالية. يمكن الآن اختبار نموذج المصدر مقابل جميع هذه الحسابات معاً، بدلاً من الاقتصار على صورته النهائية.

مقالات ذات صلة بالإنجليزية

• Six inner stages and one publication interface

  A six-digit nested counter with paired signed readout realizes ranks 1, 1, 2, 2, 3, 3 before one completion interface. Its exact counts reveal sampling bias and the restricted assumptions behind the six-channel bound.

• What spatial readout forgets

  Different inner states can share one spatial readout and still have different successors. A concrete counterexample and a kernel-preservation criterion identify the memory needed for autonomous completed evolution.

• Retained observations versus predictive states

  A readable record need not contain enough information to predict its next update. An exact leakage criterion identifies when a linear completion is autonomous and measures the error when hidden information returns.